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CQFDMathsCe qu'il fallait démontrer
2 Bac SMLimites et Continuité~45 min de lecture & pratique

Continuité sur un Intervalle et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

La continuité est le socle de toute l'analyse en 2ème Bac. Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et son corollaire pour les fonctions strictement monotones sont au cœur de quasiment tous les sujets de l'Examen National marocain pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution f(x) = 0.

Fiche Synthèse TVI & Continuité (PDF) (PDF)
Programme Marocain

Objectifs Pédagogiques Clés

  • Maîtriser la continuité en un point et sur un intervalle (ouvert, fermé)
  • Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue (et strictement monotone)
  • Appliquer rigoureusement le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
  • Démontrer l'existence et l'unicité d'une racine via la bijection continue
  • Encadrer une solution par la méthode de dichotomie

Explication Vidéo Magistrale

Playlist complète du chapitre
Continuité sur un Intervalle et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
Cours VidéoProf. Jamaa Aknari

Continuité sur un Intervalle et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

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Formules & Résultats Fondamentaux

Définition de la continuité en un point
lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

Une fonction f est continue en x_0 si et seulement si sa limite en ce point existe et coïncide avec sa valeur.

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
f∈C([a,b]) et f(a)⋅f(b)<0  ⟹  ∃c∈]a,b[,  f(c)=0f \in \mathcal{C}([a, b]) \text{ et } f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists c \in ]a, b[, \; f(c) = 0

Si f est continue sur [a,b] et change de signe aux bornes, l'équation f(x)=0 admet au moins une solution sur ]a,b[.

Corollaire de la bijection stricte
f∈C([a,b]) et strictement monotone  ⟹  f:[a,b]→∼f([a,b])f \in \mathcal{C}([a, b]) \text{ et strictement monotone} \implies f : [a, b] \xrightarrow{\sim} f([a, b])

Pour tout y_0 dans l'intervalle image, il existe un UNIQUE c tel que f(c) = y_0.

Image d'un intervalle fermé borné
f([a,b])=[m,M]ouˋ m=min⁡[a,b]f,  M=max⁡[a,b]ff([a, b]) = [m, M] \quad \text{où } m = \min_{[a,b]} f, \; M = \max_{[a,b]} f

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

Définitions & Théorèmes Officiels

Continuité à droite et à gaucheThéorème

f est continue en x_0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche en x_0 :
lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)

Théorème de la fonction réciproqueThéorème

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f réalise une bijection de I sur l'intervalle J = f(I), et sa réciproque f^{-1} est continue et a le même sens de variation.
f−1:f(I)→I,f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1} : f(I) \to I, \quad f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y

Modèles de Rédaction Type pour le Bac

Énoncé d'application

Exemple 1 : Application directe du TVI (Examen National classique)

Montrer que l'équation x3+3x−1=0x^3 + 3x - 1 = 0 admet une unique solution réelle α\alpha sur l'intervalle ]0,1[]0, 1[.
Rédaction pas à pas conforme au barème ministériel :
Soit la fonction ff définie sur [0,1][0, 1] par f(x)=x3+3x−1f(x) = x^3 + 3x - 1. 1. **Continuité :** ff est une fonction polynôme, donc elle est continue sur R\mathbb{R}, en particulier sur le segment [0,1][0, 1]. 2. **Monotonie :** Pour tout x∈]0,1[x \in ]0, 1[, f′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) > 0. Donc ff est strictement croissante sur [0,1][0, 1]. 3. **Calcul des bornes :** f(0)=−1f(0) = -1 et f(1)=1+3−1=3f(1) = 1 + 3 - 1 = 3. Ainsi f(0)⋅f(1)=−3<0f(0) \cdot f(1) = -3 < 0, donc 0∈f([0,1])=[−1,3]0 \in f([0, 1]) = [-1, 3]. 4. **Conclusion :** D'après le corollaire du TVI, l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α∈]0,1[\alpha \in ]0, 1[.
Conseil de l'examinateur : Ne jamais oublier d'énoncer explicitement : la continuité, la stricte monotonie, et le produit f(a)·f(b) < 0.

Pièges Fréquents & Vigilance le Jour du Bac

Oublier la stricte monotonie pour l'unicité

Erreur classique : Dire que l'équation admet une "unique" solution simplement parce que f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0.
Rédaction correcte : f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0 garantit seulement l'EXISTENCE d'au moins une solution. Pour prouver l'UNICITÉ, il est indispensable de démontrer que ff est strictement monotone.
Justification : Une fonction oscillante peut couper l'axe des abscisses plusieurs fois tout en vérifiant $f(a) \cdot f(b) < 0$.

Intervalles ouverts vs fermés dans le calcul d'images

Erreur classique : Écrire f(]0,+∞[)=[f(0),f(+∞)[f(]0, +\infty[) = [f(0), f(+\infty)[ pour une fonction croissante.
Rédaction correcte : Pour un intervalle ouvert ]a,b[]a, b[, l'image est ]lim⁡x→a+f(x),lim⁡x→b−f(x)[]\lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to b^-} f(x)[. Les crochets doivent rester ouverts.
Justification : Les valeurs aux bornes ouvertes sont des limites, pas des images réelles.

نصيحة الأستاذ جامع أكناري(Conseil d'Examen)

فالامتحان الوطني، سؤال TVI كيكون ديما عليه بين 0.75 و 1 نقطة. متزربش : كتب 3 عوارض واضحة : 1. الاتصال على المجال، 2. الرتابة قطعا (إشارة المشتقة)، 3. جداء الصورتين سالب. المصحح كيعطي النقطة كاملة على هاد المنهجية!

Entraînement Pratique

Exercices d'Application et d'Approfondissement

Résolvez le problème sur une feuille de brouillon avant d'ouvrir l'indice ou la correction rédigée.

Moyen — Approfondissement2.5 pts
~20 min de recherche

Exercice 1 : Existence et encadrement d'une racine (Type National)

Soit la fonction ff définie sur [1,2][1, 2] par f(x)=x4−2x2−2f(x) = x^4 - 2x^2 - 2. 1. Démontrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique racine réelle α\alpha sur [1,2][1, 2]. 2. Donner un encadrement de α\alpha d'amplitude 0.250.25 par la méthode de dichotomie.
Conseil de l'enseignant (نصيحة الأستاذ) :

فالديكوطومي (Dichotomie) متضيعش الوقت فالحساب الطويل باليد، استعمل الآلة الحاسبة العلمية كازيو باش تخرج الصور بسرعة وبلا أخطاء حسابية.

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Difficile — Raisonnement avancé3 pts
~30 min de recherche

Exercice 2 : Bijection et fonction réciproque arctan⁡\arctan et racine nn-ième

Soit g(x)=x1+x2g(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} définie sur R\mathbb{R}. 1. Montrer que gg est une bijection de R\mathbb{R} vers un intervalle JJ à déterminer. 2. Expliciter la formule de g−1(x)g^{-1}(x) pour tout x∈Jx \in J.
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